神社とお寺では参拝の作法が少し違いますので、それぞれのやり方をご紹介します。
鳥居があるのが「神社」、無いのが「お寺」です。

神社

・鳥居をくぐる前に一礼
・入ったら向かって左側を歩く
・お清めは左手→右手→口→杓の順番
・お賽銭、二礼、二拍手、一礼の順番
・お願いごとは名前、住所、「がんばりますので・・・」とともに
・180度回転してお尻を向けない。斜めに後退る

鳥居から先は神様のテリトリーです。
なので「お邪魔します」という意味で、鳥居をくぐる前に一礼しましょう。
よそのお宅にお邪魔するときに黙って家に入らないのと同じです。
神社へ続く参道には偉さの順番があります。
道の真ん中が一番偉い「神様の通り道」、次が向かって右側、最後が向かって左側です。
なので聖域にお邪魔する身としては、向かって左側を歩くのが正しいマナーです。
右手で柄杓を持って、左手を洗う
左手に柄杓を持ち替えて、右手を洗う
右手に柄杓を持ち替えて、左手に水を溜めて、口をすすぐ(水を出すときは左手で口元を隠す)
そのまま柄杓を傾けて、柄杓の持ち手を洗う
お清めは柄杓一杯の水で全て完結させるのが重要です。
神様のいる場所から沸いた貴重なお水です。
足りなくなったからといって、もう一杯おかわりしないようにしましょう。
一礼し、お賽銭を静かに入れる
鈴を鳴らす
二礼、二拍手、お願い事、一礼
お願いごとをするときは、あなたの名前、住所とともに「がんばりますので」という努力をしめすことが大切です。
何もせずにラッキーが起こりますように・・・というのは良くありません。
作法ですが拍手(かしわで)は、左手を上に、右手を下に少しずらすのが良いとされています。
最後の一拝をした後はすぐ180度振り返りたくなりますが、神様にお尻を向けるのは好ましくありません。
斜めに後退るように下がってから、後ろを振り返りましょう。
そうすることで直接お尻を向けないようします。

お寺

・山門をくぐる前に一礼
・お清めは左手、右手、口、柄杓の順番
・献灯、献香する(あれば)
・一礼、お賽銭、合掌(柏手はしない)

山門をくぐる前には一礼します。
神社の鳥居と同じ考え方です。
山門をくぐるときは、敷居を踏まないように注意します。
お清めは神社と同じやり方です。
一礼し、お賽銭を静かに入れる。
鰐口など鳴らすものがあれば鳴らす
合掌(拍手はしない)
お寺の場合は手を打たない、と覚えておきましょう。
おみくじは結ぶか、結ばないか論争があります。
①おみくじは大切な言葉なので、持ち帰ってことあるごとに読み返す。
おみくじを結びつけるのは、お願いごとが叶ったときや去年のおみくじを返すとき。
という考え方と、
②良いおみくじを結ぶことで、神様と結ばれる。本当に良い事が起こるように願う。
逆に悪いおみくじを結べば、厄を落とすことができる。
という二つの考え方がありますが、結論から言えば、あなたがしっくりくるやり方で大丈夫です。
あなたが一番納得できる考え方で、気持ち良く参拝できることが何より大切なことです。
とはいえ、どちらの考え方でもおみくじを粗末に扱うのはよろしくありません。
その辺のごみ箱捨ててしまう、などは避けましょう。